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对数学作为一门科学之起源的哲学思考


来源:南岛心理咨询    作者:默然    发布日期:2008-12-17    浏览:
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    数学是一门“神秘”的学科。千百年来,人们一直致力于探寻隐藏在数学之中的奥秘。而正如我们在经历了人生重重磨难之后,会提出“生命的意义”这样的终极性哲理问题一样,也许,对于数学来说,我们也应该进行同样的思考——我们为什么要研究数学?这个看似很另类的问题,我不止一次地提过,并且询问过身边的许多同学,但他们的答案却不尽让我满意。我将他们的回答大致分为三类:第一,为了吃饭,为了养家糊口;第二,就数学本身而言,它一无是处,只有作为工具,被其他学科利用了,它才有价值;第三,数学可以训练人的逻辑思维能力,培养人的理性思想,让人体会到其中严谨的感觉。之所以说这些回答都不尽人意,是因为我相信,一位数学家在推导数学公式,研究数学定理,探寻数学奥秘之时,绝不会是以为了让数学在其他学科中发挥有效的作用而作为动机的,更别说为了养家糊口这样肤浅的想法了。

    我认为,要回答:“为什么要研究数学”这个问题,我们便不能受其他学科的干扰,而应完完全全将数学作为一独立的实体,对之进行深入的考察。这样,我们才能触及到其最根本最核心的意义。因此,我们首先应该弄清楚三个更为基本的问题:

    1、数学产生的原始意义是什么?

    2、数学是怎样的一门学科,其实质、本原又是什么?

    3、数学的终极意义在于何处?

    可以说,只有回答好了这三个问题,我们对数学才有更深层、更清晰的认识。因此,接下来,我将围绕“数学是什么”这样一个最基本但又最深奥的话题来展开自己的论述。

    首先,让我们来共同关注以下这这样一个问题:数学的意义是什么?当我用心查找了相关的书籍,并仔细探究了数学的存在方式及其作用抑或意义的时候发现,数学,对于人类来说,有着两种截然不同的意义——外在意义与内在意义。所谓“外在意义”,我认为,是强调将数学作为一种工具来使用。人类将数学普遍地运用于天文、地理、物理、化学、生物等方面的学科,以此发挥这些学科的专长,对外界物质、宇宙进行客观、深入的认知与描述。因此,数学具有外在指向性的作用;而数学的“内在意义”则完全不同,它是指向于人自身内部的,与人的精神、思想挂钩,也就是说,对人类而言,数学起着明晰心智、清洁灵魂、发现理性的作用。在这里,我必须对“理性”一词作一番阐述:许多人将“理性”与“理智”混为一谈,认为两者之间没有明显的界限,事实上,这两者是有相当大的区别的。“理性”不同于“理智”,是因为“理性”指的是“一个人对客观真实世界的规律性的遵从和把握”,而“理智”则是“一种自我控制、自我压抑的力量,它与规律性以及隐藏在这规律背后可称之为‘真相’的东西无关”。因此,数学是一门培养人们“理性”思想的学科,而绝非使人变得“理智”的学科。

    古希腊哲学家“毕达哥拉斯”曾经提出:理论思考或者纯粹的科学和数学是对灵魂的清洁剂,数学思想可以把人们从对特殊事物的思考中解放出来,引导他们思考永恒而有序的数的世界。在数学中作研究,就如同在人类无瑕的精神领域当中翱翔一般,它可以对人类的精神思想进行高度理性的洗涤与疏理。所以,数学的内在意义对人类自身来说,较其外在意义有着相同甚至更为重要的作用。但这一点意义却往往被人们所忽略。

    那么,接下来的问题便出现了:我们为什么要明晰心智,培养理性思想与逻辑思维能力呢?我们的长辈们、老师们不断地强调培养这种能力的重要性,但其中的意义又究竟是什么呢?我认为,这些能力在我们的成长以及认识世界的过程当中都是必不可少,非常重要的。如果我们的心智是混乱而无头绪的,那么我们在认识世界的时候,便不能以理性的、符合基本客观规律的思维方式来对外界事物形成一种清晰的、有条理的认识。而对于数学家来说,他们有着成体系的理性思想与逻辑思维,能够对客观事物进行深层次的考察与把握,并使这些精妙的理论为自己所用,从而能对社会、世界及至整个宇宙形成更为清晰、更有深度的认知与思想。所以说,如果我们内心是明晰的,那么万物在我们的心中便是井然有序的;而若我们自己的心理都是混乱的,那么整个世界在我们看来便是没有支里破碎缺乏联系的。因此,明晰的心智、理性的思想、严密的逻辑对于我们每个人来说都是不可或缺的。

    如果我们明白了明晰心智的重要性,那么,我们就会很自然地发出下一个疑问:人类的心智结构又是怎么一回事呢?要阐释这样一个细致的问题,我认为,我们必须引入“精神分析学”的相关理论,才能予在更为精确的解释。精神分析学理论认为,人的心智,可分为意识与潜意识。白日里,我们的意识处于主导地位。为了应付身边发生的各种大大小小的事情,我们的道德观念、强力意志驱使我们必须变得庄重而理智,我们在看似充满着逻辑、有序的大千世界里生活着,接受着外界给予我们的各种刺激。但是,这样的思想意识,却有着它不可避免的缺陷。而经过多年的探索与研究,精神分析学家普遍认为,意识与潜意识,二者相比,潜意识往往比意识更为理性、精确、有序,更富于逻辑与智慧,更富于判断力。这个问题,我将会在后面具体提到。因此,要培养、发现心灵的有序性,我们就必须关注自己的潜意识。而这正是我所强调的——潜意识中最能精确、理性地体现心灵的逻辑,有序性特点的,并且能为我们所直观性把握的,便是我们的梦。

    试图就梦进行一番详尽的阐述不是一件容易的事情。如果我不能将“数学”与“梦的理论”有机的结合在一起,对梦作一番恰如其分的论述的话,那么我所作出的努力将是毫无意义的,并且是与这篇以探寻数学终极意义为目标的文章完全背道而驰。正当我为此而感到困惑的时候,一件让我喜出望外的事情发生了:我的一位好朋友在无意间向我提到,他前一阵子做了一个关于“数学”的梦。这个好消息无疑给我一筹莫展的思想提供了一丝线索。在我的请求之下,我们一同回到了他的寝室里,由于没有其他人的干扰,他的心绪显得很平静,他向我仔细讲述了他的梦境:

    “我,像是在演算一道数学题,这是一道关于“提取公因式”与“求极限”的数学分析题,具体的步骤是这样的:首先,我要在括号中的众多“项”里提取“公因式”,我清晰地看到公因式是这样的,它是一个“绝对值”符号,里面是“X1减X2”。然后,我要对这公因式项“求极限”,使X1与X2无限接近。”

    为了方便起见,我的这位朋友将他在梦中所进行的数学推导过程用数学语言在纸上记录了下来:

    1、提取公因式:|X1–X2|(A+B+C+……),其中,A,B,C … 是一系列单项式或多项式的组合。

    2、公因式项:|X1–X2|

    3、对公因式项求极限:lim|X1–X2|

    在我的询问之下,他告诉我,这是在他临近考研的时候所做的梦。“你知道的,墨染,当时我们每天都被笼罩在这种神经质般做数学题的气氛之中,我脑海里时时地浮现着各种各样的数学公式,以至于我不能很冷静地专注于自己的复习,相反,却对数学产生了相当大的抵触情绪。嗯!这或许就是我会做此梦的缘故吧!”

    我很直接地否定了他的观点,并告诉他,虽然此时我并未完全明白他梦的真正含义,但有一点是可以肯定的,那就是这个梦一定解释了他白天心理焦虑的主要原因。

    在这里,如果我将梦的所在理论作一整体性的论述,无疑是不现实的,也是超乎我能力之外的。我只能根据解析上述的梦的需求,对梦的基本理论进行简明扼要的阐述与介绍,以求达到整篇文章的严谨性与完整性。

    自从有了人类文明以来,在过去的很长一段时间里,梦被人们视为一种神圣的预言。早期的人类认为梦得自于“神谕”,并且它是通向另一个世界的入口。唯独古希腊哲学家“亚里士多德”认为,梦是身体系统的一部分,是一种由于精力过剩而带来的产物。直至后来弗洛伊德精神分析学说的诞生与发展,梦的这种“神谕性”和“通灵性”才逐渐为科学的释梦观所取代。

    在白天的活动里,我们的意识主要指向于外界,我们的一切思想意念都一直为处理身边所有应接不暇的事情而做出“不懈的努力”。我们的批判思想、道德观念更是为抑制自己内心深处的本能欲望而一直持续地工作着。我们的内心太需要休息,太需要被关怀。渐渐地,我们终于疲乏了。在入睡前,由于某种批判能力的松懈,使得白日里我们本不希望的意念逐渐拥上了心头,并往往变化为视觉或听觉上的幻象。而在此时,梦就有所显现了。我们躺在床上,盖上被子,享受着温暖与舒适、体贴与关怀,仿佛像回到了母体的婴儿,与外界完全隔绝,处于一种自恋的状态。与白日里相反,我们的所有意念都集中在了自己身上,我们关注着自己的一切,没有任何警觉地体验着内心的所有感受。渐渐地,我们进入了甜美的梦乡。于此,我们可以引导出梦一个基本理论:梦是多个自我意象的交织与融合。这个理论表明了,梦中显现的所有景象几乎都是对我们自己内心的真实写照,它们精确地描述了当下我们内心所存在的主要焦虑与心理意念。而当我们对梦进行了大量的关注后会发现,梦中的景象及其所表达的情绪在整个夜晚的不同阶段中有着明显的区别。具体说来,它有着这样一种规律:越是在靠近入睡时的那个时间段里,我们所做的梦越是简单而又充满焦虑、困惑和不安的;而越是在靠近早晨起床的那个时间段里,我们所做的梦却是丰富多彩而又洋溢着轻松、快乐、美好的情绪的。不难看出,其实,梦境及其情绪的整个发展过程就如同我们在现实生活中处理问题,应对困难的过程一般,它们都经历着这样的相同步骤:1、提出问题;2、分析问题;3、找出问题的根源及其解决办法。而在不经意间,精神分析鼻祖弗洛伊德又推导出了梦的另一个基本理论:梦是愿望的满足。因此,由这两大梦的基本理论,我们便可对梦的性质作一整体性的评述:梦,是一种以自我审视为方式,最终达到愿望的满足的精神活动过程。由此,我们便不难发现梦的本质:梦,这样一个一向被人们认为是神秘莫测的事物,它实质上就是一种我们白天个体精神生活的延续。

    我们必须明白,梦是我们自己的,我们不应该把梦当作是一种独立于我们自身之外的超自然力量的神谕作品。梦是一种有意义的精神现象,它是探索精神领域中无意识活动的一条重要途径。只有通过意识和无意识之间的交流,个体才可能达到一种精神上的整合。

    梦的运作,是一复杂的心理过程。我们在梦中看到的几乎所有场景,都无不是经过了我们伟大精神思想的精心安排和完美创作的结果。就如同要编撰一个美妙的神话故事一般,梦的运作也经历着以下几个步骤:

    1、继发过程:通过这个方法,我们可以根据自己潜在意念的需求,不管梦的内容多么支离破碎或稀奇古怪,都能成功地将之编成一个完整的故事。这就好比现在我们拥有一系列词语:破旧的自行车、一头凶狠的母狮子、一辆人多得早已挤不上去的公交车、万里长城。继发过程就要构思出这样一个故事情节,它能将所有这些看似风马牛不相及的事物组合在一起从而使这部分变得有意义。

    2、凝缩过程:“所谓凝缩,是指用一个简单的图像或场景来表达复杂、丰富的意义”。著名的心理分析学家,作家查尔斯·里克罗夫声明,凝缩之后,单个梦境可能有好几个主题;两个或两个以上的意象复合成一个意象,而它的意思则与每个意象相关。例如,假如梦中出现了“我的英语水平很差”这样一个简单场景的话,则可被分解为如下几个含义:英语,是一门外国的语言。所谓“外国”,是指“脱离于家庭内部之外的外面的世界、外界的社会”,而不单单指的是对于我们祖国而言的外国这样一种“显意”;而所谓“语言”,则是指一种“沟通的方式,交流的手段”。因此,整个场景联系起来就表达了完全不同于其“显意”的另外一层“隐意”:我与外界社会、外界事物的交往、沟通能力很差。凝缩作用正是梦者使用象征的需要,分析师必须通过正确地引导梦者进行“自由联想”,才能发掘出梦中意象所表达的深刻含义。

    3、转移过程:转移,指在梦形成时,“梦者将引起自己强烈兴趣的重要内容或愿望,通过变形、省略、替换等方式,隐藏在并不引人注目的、次要的或者模棱两可的梦境片段之中”。“因为即使在睡眠中,人的意识也处于抑制的状态,意识中的某些道德元素与价值观念也不会完全失去作用,它会对梦境做出审查,因而梦境变得不是它本来的样子。”如果我们晚上做了一个梦,而早上起来,我们却告诉自己说:“噢!它们毫无意义——那只不过是胡思乱想而已”,那么我们就正是被这种转移过程中所产生的伪装作用而“欺骗”了。弗洛伊德提出,“梦的转移”是由这种审查制度的影响所产生的一种精神内在的自卫。所以,转移是一种通过梦中的安全展现,使我们减轻焦虑的方法。但需要提及的是,梦的这种伪装机制,有时候也会因为我们内在的道德批判、检查制度的“失职”(即对某些怪异的念头毫无戒备),而使得我们内心的真实意念毫无保留地直接呈现于我们的梦境当中。此时,我们往往会被梦中那令人惊叹的场面惊醒,即使这样的情况会很少见。(相关的内容可参考弗洛伊德《梦的解析》一书中“典型的梦”这一章节)

    4、投射过程:投射类似于转移,但也有其不同之处。梦中当梦者把被压抑的幻想投射到其他人或其他事物时,他仍会梦见那件事情,但他不必为那个令人不安的愿望承担责任。

    现在,我们明白了梦运作的四个过程,那么我们有必要将自己所关注的内容转移到“象征”这一问题上,因为对梦中出现的各种象征的理解,是准确解梦的关键。

    一位早期精神分析学家说了一句意味深长的话:“梦是个人的神话,神话是众人的梦。”确实如是,我们在睡梦中的创造性的产品和人类最古老的创作——神话——具有明显的相似性,因为二者都共同使用了一种语言,那就是象征。埃里希·弗洛姆把象征定义为“代表他物的某物”,并将象征分为三类:习惯性象征、偶发性象征与普遍性象征。

    习惯性象征是三类象征中最普遍、最广为人知的象征。其象征和象征物之间没有任何特殊的关系。比如,我们看“桌子”这个词或听到“桌子”移动的声音时,它们就代表着我们所看到、摸到和使用的桌子。我们用词来象征某物的唯一原因就是一个特殊词来称呼一个特殊事物的习惯。生活当中的习惯性象征还有很多,在这里,我就不一一列举了。

    偶发性象征也是一种在象征和象征物之间没有内在关系的象征,但是这种象征往往只有梦者本人才能理解其中的含义,它与梦者本人的生活事件有直接的关系。例如,某人在某个城市里曾经有过一段悲惨、痛苦的经历,以至于当他日后一听到这个城市名字的时候,就会很容易地将这个名字和悲哀、恐惧的情绪联系在一起,就如同他会把快乐和情绪和一个有快乐经历的城市名字联系在一起一样。其实,城市本无快乐和悲伤可言,只是由于他的个体经验才使它变成了情绪的一个象征。

    普遍性象征是这样一种象征:在特定的文化背景之下,象征和它所代表的事物或意义之间有一种普遍的内在联系。此时,象征和象征物之间的关系不是外在一致的,而是内在性的,它深深地根植于情绪或思想与感官经验的亲密体验中,它是心灵和物质经验间的同一联系。

    例如,火的象征——这就是一种觉见的普遍性象征。面对着燃烧的火焰,我们所直接感受到的就是一种激进的、灵动的、连续的流变过程。“火”的行为方式暗示了变化过程是如何运作的,火自动地就是一个不足和过剩的交替过程:它必须不停地添加燃料,又不停地释放出某些东西,热能、烟尘或者是灰烬。正如“Chariots of fire”这首乐曲所表现的那样,“火”的运动就如同生命的燃烧,生生不息。所以,“火”常常象征着灵动的、流变的、历险的、快速的、惊讶的、激动人心的,充满活力和快乐的心绪体验。但是,如果我们看到一座美丽的建筑物在无情的烈火中化为一堆灰烬的时候,它传递给我们的则是受威胁和恐怖的经验,是人对自然的品性无能为力的经验,以及人的自毁本性的体验。

    正如埃里希·弗洛姆所说,没有必要提及种族天赋来解释象征的普遍特性。普遍象征的语言是人类发展的共通语言,是一种在所有文明产生之前,人类就早已具备了的语言,更是在它继续发展成为一种普遍性的习惯语言之前被遗忘的语言。这种语言,在过去的原始文化以及古埃及和古希腊的神话艺术作品中都能找到,但在所谓的文明高度发达的今天来说,人们却几乎将其忘却。我们不理解它、轻视它、甚至嘲笑它,这实际上是人类文明发展过程中的退步,这无不叫人为之而叹息!

    至此,我已将梦的最基本最核心的理论介绍了一番。下面就让我们一同来关注、探寻梦中数学的具体内涵吧!

    这可真是一个充满了深遂思想和神奇智慧的梦啊!我暗地里对我这位朋友所拥有的如此发达的潜意识深表敬佩,更是为人类精神、思想的奇妙与伟大而感叹不已!那么,这梦到底隐藏了梦者潜藏内心的哪些潜在的意念呢?难道它描述了梦者由于研究生考试逐渐逼近所引发的主要焦虑吗?对梦的直觉告诉我,这绝不可能。因为就对研究生考试的焦虑而言,它本身就存在于梦者的意识层面,他没有必要再如此“煞费苦心”地编出一个精巧的梦境,来表达一个毫无潜在意义的念头。因此,我们必须引导梦者进行“自由联想”。通常,我们解析梦时,都要把握到一个切入点。我们不妨就按照梦中数学公式的演算步骤这样一个顺序,来对梦中的意象进行逐一剖析。

    由于梦运作时的凝缩作用,一个小小的数学公式却融合了梦者多重意念,因此,我拟在此对梦中的各个演算步骤进行细致的分解与深度的提炼,从而,我们才能完整、准确地把握数学在梦中所象征的真正意念。

    如果说这位朋友的梦境充满了“神秘”色彩的话,那么接下来他所做出的“自由联想”,可谓更是巧妙,更令人称奇!

    1、提取公因式

    梦者联想到:“在众多‘项’里,提取一个公共的因子……仿佛让我感觉到是要从众多的事物中找出一个相同的元素一样。但这似乎很难,因为‘公因子’不是明确显现出来的,这需要我们进行精确的运算和努力的查找。”

    2、|X1–X2|

    ①、| | (绝对值符号)

    他说:“我不敢确定,但这‘绝对值符号’让我想来,总像我做这梦的那段时间里爱吃的‘夹心饼干’,因为它们都是两片大小相同的物体,中间夹杂着一些耐人寻味的东西!……而且就‘绝对值符号’本身的意义来说,它起着一种‘转负为正’的运算作用,似乎只要经过它的处理,我的内心便稳定、愉快了!”

    ② |X1–X2|

    “我可以肯定的是,而且我强烈的感觉也告诉我,x1与x2代表的是两个人,一个男人和一个女人!但不知道具体是为什么……至于中间的减号,感觉起来不像是普通的减号,而是连接两个人之间关系的距离或符号!”

    ③求极限lim|X1–X2|

    “我在梦中似乎是要通过求极限,使得二者之间的关系越来越近……但这只是个趋近的过程,二者绝不可能相等。”

    以上便是梦者所提到的联想内容。虽然梦者的联想资料并不多,但它已经为我们提供了一个明确的分析方向。下面,我将对这梦进行进一步的解析与阐释,从中,我们可以清晰地感受到数学符号象征意义的普遍性。

    1、提取公因式

    在这一片段中,梦者所作的联想已经比较深层、完善。我认为,正如梦者所说,“提取公因式”本身就象征着从众多事物或芸芸众生之中,提炼一个最基要、最核心的元素。这也许表达了梦者这样一种意念:他要从心里众多的思想、焦虑中提取并关注一个最为首要、最为重要的心理元素。这正反映了梦者在做梦之初的精神活动状态:他要像做“提取公因式”这样的数学题一般,先要对存在于心理当中的各种意念进行“运算、变化”、分析、剖析,然后才能针对这个被提取出来的首要问题进行特别的、深入的研究和考察。而这正是数学中“提取公因式”的普遍性象征的意义。

    2、|X1–X2|

    ①、|  |(绝对值符号)

    由梦中的“绝对值符号”联想到“夹心饼干”,梦者的这一联想真是令人叹为观止啊!而后来,他所说到的这两者之所以相似,是因为“它们都是两片大小相同的物体,中间夹杂着一些耐人寻味的东西”,然而,由于整个梦的意思我们尚不明确,因此不好对这个片段所象征的意义妄加揣测。

    ②、|X1–X2|

    我认为,这里才是整个梦的切入点,才是整个梦最本质、最内部、最核心的意义所在。梦者强烈地感觉到,“x”指的是一个实体,是一个人,(这可能是“象形”上的借用,“x”象征了一个在生活中活灵活现的人),而“x1” 与“x2”代表男人与女人。其中,“1”与“2”是“x”的脚标(数学中是这么称呼的),我们可以肯定,“1”与“2”就是一种对“x”的注释,它们表明了“x”的某种性质。显然,按照梦者的联想,“1”与“2”便分别代表了“男性”与“女性”,但这看似毫无逻辑的连接,它们有道理吗?经过多方查证,我惊奇地发现,自中国古代以来,就一直有“奇为阳,偶为阴”的说法。在《易经》的推演过程中,古人就用“-”代表“阳爻”,而用“--”代表“阴爻”——这正是一个解述了用“1”象征男性,“2”象征女性起源的最好例子。并且《易经》中用“九”象征“阳性”,而“六”象征“阴性”,这同样是“奇男偶女”这样一个“集体无意识”的早期用法。因此,当我们明白了这点,其它的问题皆可迎刃而解了。“x1” 与“x2”中间的一横,按照梦者的理解来讲,就是男女关系的象征,既可以狭义地解释为“男女性连接”,也可广义地解释为“男女情感关系”,象征了“两个相爱的人”。

    就| |(绝对值符号)的“象形”意义而言,它起着一种保护作用,就如同夹心饼干外面的饼干一样,提供了一种保障,而中间的内容则是男女之间甜蜜的情感,就如同夹心饼干中那香甜美味的“馅”一样;而就 | |(绝对值符号)的客观作用来说,它有着“化负为正”的功能,结合这梦的中心意思来讲,“正号”即指积极,正性成具有正向情绪的男女情感关系,而“负号”则指消极,负性或具有负向情绪的男女情感关系。梦中“绝对值符号”的功能便是化负性的男女情感关系为正性,化消极的男女性感关系为积极,将困扰他们正常情感发展的“负性”情绪统统变化为积极“正性”的情感要素。这也就解释了梦者之所以会感到只要经过“| |”的处理,他的心绪便稳定、快乐的缘故了。因此,这个“公因式”就是“积极正性”的男女之间的爱情,这是梦者对白日里所处的不稳定的男女情感的状态所进行的精神上的补偿,是梦者对“理想爱情”的图示化描述。

    ③、lim|X1–X2|

    如果说前面的梦境是梦者对当时的情感状态所作的静态描述的话,那么这个场景则是梦者对愿望实现的过程所进行的动态思考了!虽然梦者把握到了一个基本事实——这是两个人之间的关系无限趋近但又不可能相等的过程——但是,我认为,这应该不会那么简单,因为两个恋人在不断接近时,本身就是一个复杂的过程。我注意到,梦者在对“减号”进行联想时,提到过“距离”一词,这个距离当然是指男女之间情感距离了。而梦中的“极限”或说“无限趋近”就正是一个与距离有关的概念。其实,我们仔细想来,两个人相爱,本就是一个在心的距离上无限趋近的过程,相爱是两个人“合二为一”的过程。但是,理想的爱情关系实际上是两个独立的个体彼此情感交融的状态,是两个独立对等的“圆”相交的关系,而不是完全重合在一起的关系。因此,这正是“lim|X1–X2| “所要表达的——“无限趋近”代表爱的双方要求完全融合在一起的冲动,“但不等于”却是一个理性的提示。因为,任何爱情的产生都离不开必要的距离,爱情起源于两个独立个体之间因距离而产生的美,以及伴随距离所产生的“走进对方,并进入对方心灵”的强烈渴望。如果这个距离消失,爱的感觉也就荡然无存了!

    因此,这个片段则是梦者借用了“极限”或说“无限趋近”的概念对爱情关系的理性思考和描述,对自己情感生活的总结,更是对人类集体无意识愿望的表达!

    当我把自己对这梦的分析告诉给我这位朋友听后,他拍手笑道:“你可真是个业余中的高手啊!你的话说到我的心坎里去了!说实在的,我过去所经历的,恰恰是在恋爱关系里缺少积极正性的东西,和女朋友在一起,总是被一些消极的、负性的情绪所困扰,不轻松啊!不过通过你的分析,我对自己的情感状态作了一次理性的回顾和思考。看来,正如梦所提醒我的那样,我真应该对自己的恋爱作一些小小的调整和干预啦!”

    以上便是我对这梦的完整解析,我之所以会花大量的时间来做这一部分的工作,是因为我相信,这将是我们解决“数学产生的原始意义”这一问题的基本突破口。只有弄清楚了数学学科在人类精神思想上所处的角色、地位及其存在的意义,我们才得以探清数学之所以产生与存在的人类原始动机。

    下面,让我们来一起关注梦中所出现的数学符号:1、提取公因式:|X1–X2|(A+B+C+……);2、绝对值符号:|     |;3、相减符号:X1–X2;4、极限符号:lim。在释梦的过程中,我曾经结合梦的第二基本理论(梦是愿望的满足)而提到,这些符号都是“梦者对白日里所处的不稳定的男女情感的状态所进行的精神上的补偿,是梦者对‘理想爱情’的图示化描述”:提取公因式——在众多事物当中,经过分析与剖析,提炼出一个最基本、最根要的公共元素;绝对值符号,即:化负为正,把所有负性的情感转化为正性,把所有不可知的事物转化为可知,把所有不确定的事情转化为确定;X1–X2——在男性与女性之间建立连接,在所有矛盾、互反的事物之间建立联系; 极限符号——在精神层面上寻求一种“现实不可达”的无限趋近与无限靠拢,以达到“合二为一”的理想境界。换句具有归纳性质的语言,我们可以这样表述:这些数学符号都是人们对自身“内心需要”的符号性表达。也就是说,通过数学,人们可以对那些在现实生活当中本不可能实现,不可能达到的理想状态进行精神上的探寻与研究。

    其实,对于人类来说,精神世界里存在太多现实状态下所不能达到、不能实现、不可知、不确定的事物,而这正说明了数学之所以产生与存在的人类原始动机——它都是由人类自身心理焦虑所致。必须引起大家注意的是,这里我所提到的“焦虑”,与日常生活中我们所广泛接触到的狭义的焦虑不同,即我并不完全是指我们现在为了“重修考试”而焦虑,为了“就业找工作”而焦虑,更不是为了“今天莫名地丢了一块钱”而焦虑,等等。要阐明我所意图涉及的焦虑的范畴,在这里,我必须将焦虑最基本的定义表述出来:焦虑,是一种对未知事物、不确实事物的恐惧。按照这样的定义,我们所涉及到的焦虑就广泛得多了。例如,我为什么会存在于这个世间,为什么会在这里?生命的终极意义是什么,而人为什么需要奋斗?虽然我现在还快乐地生活着,但终究会有生命终结、停止呼吸、离开世间的那一天,而到时候我又会怎样?又会到哪里去?整个世界、宇宙到底遵循着怎样的基本规律运作?宇宙的终极真理又是什么?等等。其实,我们仔细观察就会发现,只要处于一种不稳定、不确定、未知的状态,我们便会产生焦虑。而其内心不确定性的焦虑,正可由“数学”来把握,因为数学本身就是一门具备可达性、可知性、可实现性、确定性特点的学科。单从这个方面来说,数学起着与宗教相类似的作用。人们追求宗教,就是为获得一种信仰。有了信仰,人类现实生活中的许多不可能逾越的事情便可得到妥善的解决。它稳定了人们的心,将不可知的事物化为可知,将不确定的事物化为了确定。这就是它们的共通之处。

    如果说我上述的言语有些让人难以理解或比较抽象的话,那么我可以找到一个很现实的例子来解释并论证自己的观点。“模糊数学”的创立与研究就是一个很好的例证。在我们的日常生活中,有些现象本质上就是模糊的。例如,在“模糊数学”的引言中提到这样一个例子,有一个古老的希腊悖论,说道:“一粒种子肯定不叫一堆,两粒也不是,三粒也不是……另一方面,所有的人又都同意,一亿粒种子肯定叫一堆。那么,适当的界限在哪里呢?我们总不能说,123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆了吧!”然而,我们“有幸”地看到,在模糊数学的整个研究过程中,它并没有创立出一个全新方法来对模糊现象进行考察,而仍旧是遵循以往“经典数学”所使用的模式来施以探究的。这些例证,都说明了,通过数学,人们可以将许多不确定的事物变为确定,将不可知的事物变为可知。因而,我想再次阐明,正是由于这些人类自身的最原始的心里焦虑,数学才得以产生,存在与永恒的发展。因此,人类需要数学!

    当一个人跋山涉水、披荆斩棘,终于爬上了一个视野辽阔的沃野平川时,他最好是停下来,好好地想一想,下一步该如何走才好!同样地,现在我们明白了数学产生及其存在的人类心智的原始动机,那么,我们有必要静下心来思考以下这个问题:人类研究数学,最终是为了获得什么呢?或者说,数学的终极意义在于何处?这不是一个简单的问题。因为,除非我们对数学学科整体一窥全貌,发掘出它的本原与实质,否则,我们将很难解决上面的问题。因此,现在我们便面临一个最根要、最本质的问题:数学,到底是一门怎样的学科?我认为,除非我们放弃以往的学习数学知识的经验,而进入一个更为抽象、更为普遍的领域当中来讨论,我们才可能获得对数学学科的本质性认识。

    首先,我们可以明确的是,数学是一门“符号性”学科。这里我所提及的“符号”并不完全是指一般意义上的标识、记号,而是一类具有更广泛涵义的实体。当代西方公认的符号学大师翁贝尔托·埃科在撰写《符号学与语言哲学》一书中,曾借用“皮尔土”的观点谈论道:“符号是我们通过对它的认识能知道更多东西的某种东西。”以此类推,一切可为我们传递其所蕴涵的推论、信息的事物,都可被称为“符号”,而不论这些被发送出的符号是否带有意图和是否是人类发送的结果。

    因此,就这样的理解来说,任何自然的事物皆可成为符号,而不仅仅是那些人为发明出来的标识或只是代表他物的某种东西。那么,数学中的符号便有多种体现形式了:

    1、示意图——通过象征来表示各种对象及其抽象关系的符号,如“数学公式”,“p”(表示一点),“∝”(“包含于”符号);

    2、标号——即一种指令,一种能让个体不差分毫地行动的指示物,如“lim”(极限符号),“∫”(积分符号);

    3、自然的推论——能对某些蕴涵的东西进行推断的一种不明的暗示,如“晚霞行千里”中,“晚霞”则是对“行千里”的不明确暗示,因此,“晚霞”便可作为“行千里”的符号。通常,如果P→Q,那么P就是Q的符号;

    4、随意性等值——即用一个实体来表示与之构成等值(价)关系的另一个实体。显然,形式3与形式4是人们常常忽略的数学符号类型。

    我之所以要说明这一点,是因为我想强调,这些特殊形式的符号,在我们研究数学问题、认识世界的过程当中,与普通形式的符号一样,都起着至关重要的作用。一位哲学家曾经说过,人类与动物的最大区别在于,人类能将客观事物符号化、抽象化。数学的发展正是这种观点的集中体现。原始时期,人们用鹅卵石来计数,他们不会用在意识中形成的数字符号来表示,更别谈那些以推理形式出现的符号了。而在思维高度发达的数学王国中则截然不同,上述各种形式的符号在数学学科中无所不在,它使客观事物精神化、抽象化,使人的意识超越客观物质,进入一个纯粹的数的世界,从而在很大程度上推动了数学的发展。当然,数学的本质意义绝不在于符号本身,而是在隐藏于符号背后的更深层、更抽象、更普遍的涵义。这一点,我将在后面提到。

    然而,数学学科内部的运作又有着怎样的实质呢?即,数学推理过程的现象实质是什么?要回答这一复杂的问题,我想先向大家介绍一比较简单的数字模型:

    现在,我们拥有一系统,其内部有三个元素A,B,C,并且它们两两之间构成一关系,这种关系只有两种情况:正号(+)与负号(-)。如今,我们规定,A与B,B与C,A与C之间的关系符号的总乘积必须为正号(+),并知道A与B,B与C的关系的符号,求A与C之间的关系符号。

    显然,这是个极其简单的问题,我们有以下四种情况,并且每种情况有与其相对应的答案:

    (海德的平衡理论:暂缺图)

 

    这就是对上面的简单数学问题的完整解答,然而实际上,它正是对一经典定理的数学符号形式的描述——世界著名的“海德(F·Heider)效应”。“海德效应”为我们描述了这样一种人类心理现象变化的基本规律,例如,甲与乙是好朋友(他们之间的关系符号为“+”),而甲喜爱某个事物(关系也为“+”),那么乙为了维持、稳定他与甲之间的关系(即为了保持整个系统的关系符号乘积为“+”),他必须让自己也对那个事物感兴趣(即关系必须为“+”);又如,甲与乙之间本不认识,而由于甲讨厌某个事物(关系为“-”),并且乙也讨厌这个事物(关系也为“-”),那么甲与乙为了维持整个系统的稳定(符号总乘积为“+”),他们之间就会产生共同语言了(即关系为“+”)。事实上,这个定理正是对我们中国一句经典俗语的精确描述——爱屋及乌。

    然而,我们经过仔细观察、思考后发现,数学中所有推理过程不正是以这样的形式存在的吗?这里,我们先假定有一个广大的系统,其中有许许多多但数量却确定了的元素,这些元素之间构成了错综复杂的关系,并且这些关系是以多种形式出现的。而我们的问题是,在保证整个系统内部的总关系稳定不变的情况下,要确定其中两个元素之间的关系或者找出与某一元素构成某种确定关系的另一元素。具体而言,就数学本身来说,上述的“元素”所指代的意义是多种多样的,它可以指某一点,可以指一条直线,或是一个集合,一组空间等等,只要是满足某一性质的个体或群体所组成的集合,都可称为“元素”;所谓“关系”,我认为,我们可以作这样一种假设(并且,我觉得我们也能接受这种假设),即数学元素之间所有错综复杂的关系,本质上都是以正(+)与负(-)两种情况出现的,当然,这里的正(+)与负(-)肯定不是数学知识中所涉及的单纯、狭义的正号与负号的概念,而是广义的正向与负面的关系,例如,是与否,包含与被包含,线性关系与非线性关系等等,即所有这些对立统一的关系。而数学的任务就是要保证在整个数学系统或者在其某个成体系的子系统内部的总关系为正(+)且不变的情况下,确定两个元素间是正向还是负向的关系,或者求出与某一元素构成正向(或负向)关系的另一元素。我认为,数学中的一切推理过程事实上都是一种对客观或主观系统内部事物的现象审视与描述,而正是这样“元素及其关系”的问题,便是所有数学推理过程的现象实质!

    通过上面的讨论,我们清楚地认识到,数学是一门以符号、象征为手法,理性地审视某个主观或客观系统内部的现象而存在的学科。然而,如果说数学就是一门这样的学科的话,这种说法恐怕难以令人置信。因为,我们都能非常清晰的感觉到,数学中的符号规律绝非最为本质的规律,数学的终极意义也绝不仅仅在于其符号形式与审视其内部现象这一行为本身的意义,数学之所以成为一门科学,是为了发掘人类心智当中最原始、最本体的成分,为了探寻隐藏在这些符号与现象背后的某种事物的真相或真理。由此,我们相信,关于数学的起源,它产生及存在的原始动机与人类的心智要求有关,是为处理一系列关于生命、世界、宇宙、本体的焦虑而产生的一门学问,而研究数学的终极意义,正是处理这一原始焦虑的高度升华!所以,当我们再次回到以前所提出的问题,即我们为什么需要研究数学时,我们不禁会为那些肤浅的想法而感到可笑,研究数学的终极意义岂是那么几个浅显的行为动机所能概括的啊!值得提及的是,我同样不太赞成像陈景瑞那样的数学家或数学研究者们对数学这一学科的研究态度。因为,就他们而言,数学完全变成了另外一种东西,一种可用它来压抑自己、逃避现实、回避自己真正需要的“替代性”的工具。也许,在某一时间段里,他们能成为受人尊敬的数学家,但在一生之中,他们永远不可能实现自我,永远不可能获得对宇宙终极真理的完整认识!因此,我再次阐明自己的观点:数学的终极意义就在于用理性的思维,对生命、世界乃至整个宇宙终极真理的探索与追求。

    真理,是“无路可达之国”,但在今天所谓的文明高度发达的世界里,人们心中对真理的追求却发生了巨大的变化。埃里希·弗罗姆曾在《被遗忘的语言》中说道:“在许多方面,文字和大众传媒的扩充使文化垃圾同其在小型的,高度限制性的部落文化中一样发挥影响作用。在这样的文化背景下,我们不仅学会了真理,也学会了谬误。我们不仅听到了有教益的东西,但也不断地受到了有害于生命的观点的影响.现代人被暴露于一种几乎永不停息的“噪音”中,即收音机、电视、新闻标题、广告、电影以及绝大多数不使我们的心智更聪明反而使之变得愚蠢的噪音。我们被暴露在伪装成真理的合理化谎言里,被暴露在伪装成常识或专家的高见的胡说八道里,被暴露在众口一词,智力懒惰、或以“荣誉”和“现实主义”的名义自称的欺骗里,诸如此类等等。我们的感觉要优于前辈以及所谓的原始文化的迷信,也由于同样的迷信,我们也被反复地锤炼自己的信念,将它们高高地看成是最新的科学发现。”确确实实,文化对我们的理智和道德作用的影响有利有弊,然而,过于的清醒和理智并非绝对的赐福,对于我们来说,它同样是一种灾祸。我们在充满着“假象”的世界里生活着,这是个虚伪、模糊、无序、缺乏理性与逻辑思维的世界,而原本存在于我们心智当中的“真理”却因为这样的原因与我们的意识分隔得越来越远。它藏匿于我们潜在的心智(潜意识)当中,时不时地以“梦”的形式给予我们最理性的思想与最精确的提示。然而,我们非常庆幸地看到,数学作为一门理性的学科,它起着其他学科所不能代替的作用——明晰心志、清洁灵魂,培养、发现心灵的有序性与逻辑性。数学是人类心灵最精确的密码,是人类发现宇宙终极真理的方法论的核心,是走向真理王国的一条神圣之路。因此,我们过去需要数学,现在也需数学,将来更需要数学!

    我的讨论到此结束。经过抽丝剥茧,层层递进,我们对数学产生与存在的原始意义,其本原与实质以及研究数学的终极意义等,终于有了一整体性的认识和了解。如果按照以上对数学学科的分析及其研究的结果来看,我们则可对数学下一本质性的定义:数学是一门以符号、象征为手法,以理性地审视某个主观或客观系统内部的现象为方式,最终获得宇宙终极真理的学科。如此,从这个定理出发,我们便可以解决一个困扰了我们多年的难题——正是由于数学是一门以符号、象征的手法形式对真理进行探求的学科,因此,我们可以说,所有的数学定理都应该称作是被“发现”出来的,而并非“发明”。

    我之所以有如此强烈的动机来完成整篇文章的写作,是因为我发现,在数学学习广为流传的今天,我们的许多同学都将学习数学当作了一种任务,在他们看来,数学仿佛成了“学习负担”的象征,成了“老师严厉教学”的象征,更成了“痛苦的学习生活”的象征。他们连最基本的“我们为什么要研究数学”这一简单的问题,都不能给出一个具有思想意义的回答或者是只能给出一些老生常谈的套话。这无不促使我们为之而作一番仔细的思考。我对数学学科所作的精密细致、追根溯源的分析工作,并不是要让大家接受我的观点,而是希望通过对它的讨论,倡导大家一起来关注、探寻数学的本原、实质以及人类学习、研究数学的真正动机。我希望,我的尝试对于我们的数学学习与研究来说,有着更深远的意义——拨乱返正,正本清源!

                                   作者: 曾墨染——大学数学系研究生


 
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